Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，平面平面，，，且，，，的中点分别是，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连接，，根据面面垂直的性质，线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；

（Ⅱ）根据题意，计算出，，，过点作于点，得到；设点到平面的距离为，根据等体积法，即可求出结果.

（Ⅰ）连接，，由题目可知四边形为正方形，所以．

因为，的中点是，所以．

因为平面平面，平面平面，在平面内，，

所以平面．

所以．

又因为，所以平面．

因为，的中点分别是，，所以．

所以平面．

（Ⅱ）因为，，

所以，．

所以．

过点作于点，易知，则．

所以在中，由余弦定理得．

则．则．

设点到平面的距离为，则

由三棱锥三棱锥，得，

即，解得．

即点到平面的距离为．