Question

19．记集合$M=\left\{{\left.x\right|y=\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}}\right\}$，集合N={y|y=x²-2x+m}．
（1）若m=3，求M∪N；
（2）若M∩N=M，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m=3代入求出集合M，N，进而可得M∪N；
（2）若M∩N=M，可得M?N，结合M=[1，3]，N=[m-1，+∞），可得答案．

解答 解：（1）∵集合$M=\left\{{\left.x\right|y=\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}}\right\}$=[1，3]，
又∵集合N={y|y=x²-2x+m}，
∴y=x²-2x+m=（x-1）²+m-1，
∴N={y|m-1≤y}=[m-1，+∞），
当m=3时，N={y|2≤y}=[2，+∞），
∴M∪N=[1，+∞），
（2）∵M∩N=M，可得M?N，
由（1）知M=[1，3]，N=[m-1，+∞），
所以m≤2．

点评 本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用，集合的运算，难度不大，属于基础题．