Question

已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；
（Ⅲ）证明（）.

Answer 1

(1)      (2)   (3) 见解析
【考点定位】本小题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，不等式基础知识.考查函数思想、分类讨论思想.考查综合分析和解决问题的能力.试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.

(1)解： 的定义域为

由，得
当x变化时，，的变化情况如下表：

x
	-	0	+
		极小值

因此，在处取得最小值，故由题意，所以
（2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即

令，得
①当时，，在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.
②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.
故不合题意.
综上，k的最小值为.
（3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.
当时，


在（2）中取，得，
从而
所以有





综上，，