Question

【题目】设函数

（1） 判断并证明f(x)在定义域内的单调性；

（2）证明：当x＞－1时， ；

（3）设当x≥0时， ，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)增；(2)见解析； (3) .

【解析】试题分析：(1) 求出， 得增区间， 得减区间；（2）将函数的解析式代入整理成，组成新函数，然后根据其导函数判断单调性进而可求函数的最小值，进而可得证；（3）先确定函数的取值范围，然后对分和两种情况进行讨论，当时根据的范围可直接得到不成立；当时，令，然后对函数进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求的范围.

试题解析：(1) 在定义域内增

（2）当 时， 当且仅当．

令 ，则.

当 时 ，g(x)在 是减函数；当 时 ，g(x)在 是增函数．

于是函数g(x)在 处达到最小值，因而当 时， ，即 ．

所以当 时， ．

（3）由题意 ，此时 ，

当 时，若，则 ， 不成立；

当 时，令，则当且仅当．

．

由（1）知，即 ，

．

（ⅰ）当时， ，h(x)在 是减函数， ，即．

（ⅱ）当时，由（ⅰ）知，即 ，

，

当时， ，所以 ，即．

综上，a的取值范围是 ．