Question

【题目】一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度成正比，与它的厚度的平方成正比，与它的长度的平方成反比.

(Ⅰ)将此枕木翻转90°（即宽度变为厚度），枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为且翻转前后的比例系数相同都为）

(Ⅱ)现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为多少时，可使安全负荷最大？

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 见解析 (Ⅱ)

【解析】试题分析：（1）安全负荷为正常数），翻转后，从而得，从而讨论变化；（2）如图，设截取的宽为，厚度为，则，即，从而得到，再求导，确定函数的单调性与最值.

试题解析：（Ⅰ）安全负荷为正常数）翻转，

，

当时，安全负荷变大.

当 ，安全负荷变小；

当时，安全负荷不变.

（II）如图，设截取的宽为，厚度为，则.

= （

令 得：

当时 函数在上为增函数；

当时 函数在上为减函数；

当 时，安全负荷最大。此时厚度

答：当问截取枕木的厚度为时，可使安全负荷最大。