题目内容

如图，已知在三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．
（1）求向量
AB
+
AC
+
BC
的模；
（2）若长为10的线段PQ以点A为中点，问
PQ
与
BC
的夹角θ取何值时
BP
•
CQ
的值最大？并求这个最大值．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）利用向量的数量积性质即可得出；
（2）利用向量的三角形法则和数量积的性质即可得出．
解答： 解：（1）|
AB
+
AC
+
BC
|=
(
AB
+
AC
+
BC
)2

=
AB
2+
AC
2+
BC
2+2
AB
•
AC
+2
AB
•
BC
+2
AC
•
BC

=
32+42+52+2×3×4×0+2×3×5×(-
3
5
)+2×4×5×
4
5

=
9+16+25+0-18+32
=
64
=8，
（2）
BP
•
CQ
=(
BA
+
AP
)•(
CA
+
AQ
)
=
BA
•
CA
+
BA
•
AQ
+
AP
•
CA
+
AP
•
AQ
=0+
BA
•
AQ
+
AP
•
CA
+5×5×cos1800
=
BA
•
AQ
-
AQ
•
CA
-25=
AQ
•(
BA
-
CA
)-25=
AQ
•(
BA
+
AC
)-25
=
AQ
•
BC
-25
=
1
2
PQ
•
BC
-25
=
1
2
|
PQ
|•|
BC
|•cos＜
PQ
•
BC
＞-25
=
1
2
×10×5cos＜
PQ
•
BC
＞-25
=25cos＜
PQ
，
BC
＞
当＜
PQ
•
BC
＞=00，即θ=00时，(
BP
•
CQ
)max=25．
点评：本题考查了向量的三角形法则和数量积的性质，属于中档题．
练习册系列答案
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A、7B、5C、3D、4
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2
，4]上的值域．
求与曲线y=
3x2
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π
6
，1）
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（3）当x∈[0，
π
2
]时，求函数的值域．
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x2
a-1
+
y2
5-a
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已知函数f（x）=5sinxcosx-5
3
cos2x+
5
2
3
（x∈R），求：
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（2）当x∈[0，
π
2
]时，函数f（x）的值域．
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