Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，过任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与交于两点，且的周长为．当直线的斜率为时，与轴垂直

（1）求椭圆的方程

（2）若是该椭圆上位于第一象限的一点，过作圆的切线，切点为，求的值；

（3）设为定点，直线过点与轴交于点，且与椭圆交于两点，设，，求的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据椭圆定义可求得；再利用斜率得到，利用的关系求得结果；（2）假设，利用两点间距离公式表示出；再利用直角三角形求解出切线长，作差得到结果；（3）假设直线为和两点坐标，利用向量关系表示出和，将直线代入椭圆方程，利用韦达定理表示出，整理得到结果.

（1）的周长为

根据椭圆定义可知：

当斜率为时：，，

可得：

椭圆的方程

（2）设，则

连接，由相切条件知：

（3）由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为

令，可得，则

设，

由得，则

即

由，可得，即

将，代入椭圆中，可得：

由韦达定理得，