Question

已知数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＋1＝ (n∈N^*)．
(1)求证： 数列 ｛＋ ｝是等比数列，并求数列{a_n}的通项a_n
(2)若数列{b_n}满足b_n＝(3ⁿ－1)a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式(－1)ⁿλ＜T_n对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

(1) a_n＝ ;(2) －1＜λ＜2.

试题分析：(1)将已知a_n＋1＝取倒数可得: ＋1进而利用待定系数法将此式转化为: ＋＝3从而可证数列 ｛＋ ｝是等比数列,然后应用等比数的通项公式可求得数列{a_n}的通项a_n; (2)由(1)及已知可得b_n＝(3ⁿ－1)·＝n· ^n－1,此数列是由一个等差数列{n}与一个等比数列{ ^n－1}对应项的积构成的一个数列，此数列的前n项和应用乘公比错位相减法就可求得其前n项和T_n；然后研究数列{T_n}的单调性可知：{T_n}为递增数列，最后通过讨论n的奇偶性及不等式恒成立的知识就可求得λ的取值范围.注意不等式:对一切n∈N^*恒成立等价于,同理:不等式:对一切n∈N^*恒成立等价于.
试题解析：(1)由题知，＋1，  .        .1分
∴＋＝3，                    2分
∴数列 ｛＋ ｝是以3为公比以=为首项的等比数列。
∴＋＝·3^n－1＝，∴a_n＝         5分
(2)由(1)知，b_n＝(3ⁿ－1)·＝n· ^n－1，
T_n＝1×1＋2× ¹＋3× ²＋…＋n· ^n－1，            6分
 T_n＝1×＋2× ²＋…＋(n－1)  ^n－1＋n ⁿ，
两式相减得，
 T_n＝1＋＋＝2－，
∴T_n＝4－                           10分
∵T_n＋1－T_n＝＞0，
∴{T_n}为递增数列                         .12分
①当n为正奇数时，－λ＜T_n对一切正奇数成立，
∵(T_n)_min＝T₁＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1；
②当n为正偶数时，λ＜T_n对一切正偶数成立，
∵(T_n)_min＝T₂＝2，∴λ＜2.
综合①②知，－1＜λ＜2                       .14分