题目内容

如图，已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C₁： $数学公式$ +y²=1和C₂： $数学公式$ + $数学公式$ =1，判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

解：（1）椭圆C₂与C₁相似．
因为C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为2 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，
而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1
（2）假定存在，则设M、N所在直线为y=-x+t，MN中点为（x₀，y₀）．
则 $\text{[math]}$ ∴5x²-8xt+4（t²-b²）=0．
所以x₀= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，y₀= $\text{[math]}$ ．
中点在直线y=x+t上，所以有t=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）椭圆C₂与C₁相似．先求得椭圆C₂与椭圆C₁的特征三角形的腰长和底边长，可发现两特征三角形相似，进而可判断两椭圆相似．
（2）先假设存在，得到点M，N的直线方程和中点坐标，然后联立椭圆和直线消去y得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理可得到两根之和，即得到MN中点x₀的值，代入到直线可确定y₀的值，再由MN的中点在直线上可求得t的值．
点评：本题主要考查椭圆的基本性质的简单应用和直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线是高考的重点问题，经常以压轴题的形式出现，一定要引起重视．

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（1）已知椭圆C₁：

+y²=1和C₂：

=1，判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
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如图，已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（0，c）、F₂（0，-c）（c＞0），抛物线P：x²=2py（p＞0）的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点E在第一象限，与椭圆C相交于A、B两点，且

．
（1）求证：切线l的斜率为定值；
（2）若动点T满足：

的最小值为-

，求抛物线P的方程；
（3）当λ∈[2，4]时，求椭圆离心率e的取值范围．

如图，已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，A（0，b），且

=-2过左焦点F₁作直线l交椭圆于P₁、P₂两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的倾斜角a∈[

]，直线OP₁，OP₂与直线x=-

分别交于点S、T，求|ST|的取值范围．

如图，已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点为F₁（1，0）、F₂（-1，0），离心率为

，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）①求直线l的斜率k的取值范围；
②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF₁A和∠NF₁F₂是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

（2012•梅州一模）如图，已知椭圆C：

+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且

=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．