Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由及，解得，．所以．所以椭圆的标准方程是．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件的实质是垂直关系，即.所以．,,由得．，．代入化简得，．由化简得．解得，．
由，，所以实数的取值范围是．
（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为.
依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．
解得，．
所以．                              
所以椭圆的标准方程是．             4分
（Ⅱ）解：存在直线，使得成立.理由如下：
由得．
，化简得．
设，则
，．
若成立，
即，等价于．所以．
，
，
,
化简得，．
将代入中，，
解得，．
又由，，
从而，或．
所以实数的取值范围是．          14分