Question

（2012•昌图县模拟）设函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[-

π

4

，

π

3

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+

π

6

）+1，由此求得 函数f（x）的最小正周期，再令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，
即可得到函数的单调递增区间．
（Ⅱ）由 x∈[-

π

4

π

3

]求得2x+

π

6

的范围，可得sin（2x+

π

6

）的范围，从而求得f（x）的值域．

解答：解：（1）函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
所以函数的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈z．…（8分）
（Ⅱ）当 x∈[-

π

4

 

π

3

]时，-

π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的值域为[1-

3

，3]．…（12分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．