Question

设函数，，.
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若曲线与轴相切于异于原点的一点，且的极小值为，求的值.

Answer 1

(1)证明过程详见解析(2) ，.

试题分析：
(1)将条件带入函数解析式消b,得到,对该三次函数求导得到导函数,由于,故该导函数为二次函数,根据题意需要求的该二次函数大于0的解集,因为二次函数含参数,故依次讨论开口,的符号和根的大小,即可到导函数大于0的解集即为原函数的单调增区间.
(2)分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数与x轴相切,所以有个极值为0且有一个重根,故可得函数有一个极大值0和一个极小值,有一个重根,则对因式分解会得到完全平方式,即提取x的公因式后,剩下二次式的判别,得到a,b之间的关系式,再根据极小值为,则求导求出极小值点,得到关于a,b的另外一个等式,即可求出a,b的值.
试题解析：
（1），．
令，，
当时，由得．
①当时，的单调递增区间为；      3分
②当时，的单调递增区间为；                      5分
③当时，的单调递增区间为.          7分
（2），
依据题意得：,且 ①          9分
，得或            .    11分
因为，所以极小值为,
∴且，得，  13分
代入①式得，.             15分