Question

已知函数（e为自然对数的底数）
（1）求的最小值；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）的最小值为1；（2）实数的取值范围是.

试题分析：（1）先对求导，得出函数的单调区间，即可求出函数的最小值为1；
（2）不等式恒成立，变形为，构造新函数；求得的最小值，
从而实数的取值范围是．
试题解析：（1）的导函数，令，解得；
令，解得.
从而在内单调递减，在内单调递增.
所以，当时，取得最小值1.                       6分
（2）因为不等式的解集为，且，
所以对于任意，不等式恒成立.
由，得.
当时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.
将变形为.
令，则的导函数，
令，解得；令，解得.
从而在内单调递减，在内单调递增.
所以，当时，取得最小值，
从而实数的取值范围是.                       13分