Question

一动圆与圆x²+y²+6x+5=0外切，同时与圆x²+y²－6x－91=0内切，求动圆圆心的轨迹。

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设圆圆心为P（x,y），半径为R，两已知圆的圆心分别是O1，O2。 分别将已知两个圆的方程 x2+y2+6x+5=0与x2+y2－6x－91=0配方，得： （x+3）2+y2=4与(x－3)2+y2=100 当圆P与圆O1：(x+3)2+y2=4外切时， 有|O1P|=R+2                   ① 当圆P与圆O2：（x－3）2+y2=100内切时， 有|O2P|=10－R                 ② ①、②两式的两边分别相加，得 |O1P|+|O2P|=12 即：=12  ③ 化简得： ∴动圆圆心的轨迹是椭圆 解法二：同解法一得方程 =12      ① 由方程①可知，动圆圆心P（x,y）到点O1（－3，0）和点O2（3，0）距离和是常数12，所以点P的轨迹是一个椭圆，并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程。 ∵2c=6,2a=12 ∴c=3,a=6 ∴b2=36－9=27 ∴动圆圆心的轨迹方程为： ∴动圆圆心的轨迹是一个椭圆。