Question

如图所示，一动圆与圆x²+y²+6x+5=0外切，同时与圆x²+y²-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．

Answer 1

分析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义．

解答：解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的加以分别为O₁、O₂，
将圆的方程分别配方得：（x+3）²+y²=4，（x-3）²+y²=100，
当动圆与圆O₁相外切时，有|O₁M|=R+2…①
当动圆与圆O₂相内切时，有|O₂M|=10-R…②
将①②两式相加，得|O₁M|+|O₂M|=12＞|O₁O₂|，
∴动圆圆心M（x，y）到点O₁（-3，0）和O₂（3，0）的距离和是常数12，
所以点M的轨迹是焦点为点O₁（-3，0）、O₂（3，0），长轴长等于12的椭圆．
∴2c=6，2a=12，
∴c=3，a=6
∴b²=36-9=27
∴圆心轨迹方程为

x2

36

+

y2

27

=1，轨迹为椭圆．
（方法二）：由方法一可得方程

(x+3)2+y2

+

(x-3)2+y2

=12，移项再两边分别平方得：2

(x+3)2+y2

=12+x
两边再平方得：3x²+4y²-108=0，整理得

x2

36

+

y2

27

=1
所以圆心轨迹方程为

x2

36

+

y2

27

=1，轨迹为椭圆．

点评：本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．