Question

如图，ABCD是一块边长为1km的正方形地皮，其中AST是一半径为akm（0＜a≤1）的扇形小山，其余部分是平地，某开发商要在平地上建一个矩形停车场，使矩形一个顶点在弧ST上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上，设∠BAP=θ（0＜θ＜

π

2

），矩形PQCR面积为S．
（1）写出S关于θ的函数关系式S（θ）；
（2）函数S（θ）能否取得最小值，若能，求出最小值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意，RP=1-asinθ，PQ=1-acosθ，从而可求S（θ）=（1-asinθ）（1-acosθ），化简即可；
（2）设sinθ+cosθ=t，整理得S（θ）=f（t）=

1

2

a²t²-at+1-

1

2

a²，t∈（1，

2

]；可求得其对称轴t=

1

a

，△=a²（a²-1）．对a分a=1，0＜a＜1讨论及可求得答案．

解答：解：（1）RP=1-asinθ，PQ=1-acosθ，
∴S（θ）=（1-asinθ）（1-acosθ）=1-a（sinθ+cosθ）+a²sinθcosθ，θ∈（0，

π

2

）…（6分）
（2）设sinθ+cosθ=t，则t=

2

sin（θ+

π

4

），
由θ+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

）知t∈（1，

2

]，sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴S（θ）=f（t）=1-at+

1

2

a²（t²-1）=

1

2

a²t²-at+1-

1

2

a²…（8分）
对称轴t=

a

2× 1 2 a2

=

1

a

，△=a²-4×

1

2

a²（1-

1

2

a²）=a⁴-a²=a²（a²-1）．
当a=1时，△=0；
当0＜a＜1时，△＜0；
由0＜a≤1知

1

a

≥1，
∴当

1

a

≥

2

，即

2

2

时，f（t）_min=f（

2

）=

1

2

a²-

2

a+1．
当0＜

1

a

＜

2

，即

2

2

＜a＜1；
当a=1时，S（θ）不能取得最小值．
∴f（t）_min=f（

1

a

）=

1

2

（1-a²）．
综合得当0＜a＜1时，
S（θ）能取得最小值 S（θ）_min=

1 2 (1-a2)   ，   2 2 ＜a＜1 1 2 a2- 2 a+1，   0＜a≤ 2 2

…（14分）
当a=1时，S（θ）不能取得最小值．

点评：本题考查三角函数模型的应用问题，着重考查三角函数的最值，突出考查换元法与分类讨论思想、等价转化思想与函数方程思想的综合应用，属于难题．