Question

（2004•黄埔区一模）如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的底面为扇形小山（P为

TS

上的点），其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个边落在BC及CD上的长方形停车场PQCR．求长方形停车场PQCR面积的最大值及最小值．

Answer 1

分析：设∠PAB=θ，θ∈[0，

π

2

]，则?S_PQCR=f（θ）=（100-90cosθ）（100-90sinθ），令sinθ+cosθ=t，则t=

2

sin（θ+

π

4

）∈[1，

2

]，由二次函数的性质求得S_PQCR的最大值和最小值．

解答：解：设∠PAB=θ，θ∈[0，

π

2

]，则?
S_PQCR=f（θ）=（100-90cosθ）（100-90sinθ）=8100sinθcosθ-9000（sinθ+cosθ）+10000．
令sinθ+cosθ=t，则t=

2

sin（θ+

π

4

）∈[1，

2

]．?
∴S_PQCR=

8100

2

t²-9000t+10000-

8100

2

，此二次函数的图象开口向上，对称轴为t=

10

9

，
故当t=

10

9

时，S_PQCD最小值为950（m²），
当t=

2

时，S_PQCD最大值为14050-9000

2

（m²）．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，属于基础题．