Question

如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为80米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地．现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR．设∠PAT为θ，长方形停车场面积为S．
（1）试写出S关于θ的函数；
（2）求长方形停车场面积S的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，利用平方关系求出 sinθcosθ=

t2-1

2

，通过θ的范围求出t的范围，得到S关于t的表达式，利用二次函数的性质求出S的最大值．

解答：解：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得FP=80cosθ，EP=80sinθ，
∴PR=100-80sinθ，PQ=100-80cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（100-80sinθ）（100-80cosθ）
=10000-8000（sinθ+cosθ）+6400sinθcosθ
故S关于θ的函数解析式为S=10000-8000（sinθ+cosθ）+6400sinθcosθ
 (0≤θ≤

π

2

)．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即 sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴S=10000-8000t+3200（t²-1）=3200t²-8000t+6800．　（9分）
又由 0≤θ≤

π

2

，可得

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
故 t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]，
∴S关于t的表达式为S=3200t²-8000t+6800（ t∈[1，

2

]）．（11分）
又由 S=1600(t-

5

2

)2-3200，t∈[1，

2

]
可知当 t=

2

时，S取最小值，当t=1时，S取最大值．
故S的最小值为13200-8000

2

，最大值为2000．（14分）

点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，注意必须注明函数的定义域，利用换元法求出函数的表达式，二次函数的最值的求法，考查计算能力．