Question

已知函数.
⑴ 求函数的单调区间；
⑵ 如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；
⑶ 是否存在正实数，使得：当时，不等式恒成立？请给出结论并说明理由.

Answer 1

(1).;(2)⑶详见解析.

试题分析：(1)利用求导的基本思路求解，注意导数的四则运算；（2）利用转化思想将问题转化为总成立，只需时.借助求导，研究的性质，通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数的取值范围；⑶通过构造函数和等价转化思想，将问题转化为，要使在上恒成立，只需.然后利用求导研究函数的最大值，进而证明结论.
试题解析：：(1) 由于，
所以.       (2分)
当，即时，；
当，即时，.
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为.                         (4分)
(2) 令，要使总成立，只需时.
对求导得，
令，则，()
所以在上为增函数，所以.                       (6分)
对分类讨论：
① 当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；
② 当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；
③ 当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意.
综合①②③可得，所求的实数的取值范围是.                    (9分)
(3) 存在正实数使得当时，不等式恒成立.
理由如下：令，要使在上恒成立，只需.                                                 (10分)
因为，且，，所以存在正实数，使得，
当时，，在上单调递减，即当时，，所以只需均满足：当时，恒成立.                 (12分)
注：因为，，所以