Question

函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（

1

3

）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若a＞b＞c＞0且b²=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）．

Answer 1

（1）∵对任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²?f（0）=1；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁=

1

3

p1，x2=

1

3

p2，故p₁＜p₂，
∵函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（

1

3

）＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

1

3

p1）-f（

1

3

p2）=[f(

1

3

)]p1-[f(

1

3

)]p2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是R上的单调增函数．
（3）由（1）（2）知，f（b）＞f（0）=1，
∴f（b）＞1，
∵f（a）=f（b•

a

b

）=[f(b)]

a

b

，f（c）=f（b•

c

b

）=[f(b)]

c

b

，
∴f（a）+f（c）=[f(b)]

a

b

+[f(b)]

c

b

＞2

[f(b)] c+a b

，
而a+c＞2

ac

=2

b2

=2b，
∴2

[f(b)] c+a b

＞2

[f(b)] 2b b

=2f（b），
∴f（a）+f（c）＞2f（b）．