Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过点的直线与圆交于不同的两点（不在y轴上)．

（1）若直线的斜率为3，求的长度；

（2）设直线的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值；

（3）设的中点为，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）求出圆心O到直线的距离，已知半径通过勾股定理即可算出弦长的一半，即可算出弦长。（2）设，直线的方程为，联立圆的方程通过韦达定理化简即可。（3）设点，根据，得，表示出，的关系，再联立直线和圆的方程得到，与k的关系，代入可解出k，最后再通过有两个交点判断即可求出k值。

（1）由直线的斜率为3，可得直线的方程为

所以圆心到直线的距离为

所以

（2）直线的方程为，

代入圆可得方程

设，则

所以为定值，定值为0

（3）设点，由，可得：，即

，化得：

由（*）及直线的方程可得：，代入上式可得：

，可化为：

求得：

又由（*）解得：

所以不符合题意，所以不存在符合条件的直线.