题目内容
12．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3=$\frac{1}{2}$•S3=6．（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．
分析 （Ⅰ）由题意可知：S3=3a2=12，求得a2=4，由d=a3-a2得到公差，再求出首项，即可求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求出等差数列的前n项和，取倒数后利用裂项相消法求得$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．
解答 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，
由${a}_{3}=\frac{1}{2}•{S}_{3}=6$，得S3=12，
由等差数列的性质可知：S3=3a2=12，解得：a2=4，
∴d=a3-a2=6-4=2，则a1=a2-d=2，
∴数列{an}的通项公式为an=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）由（1）可知Sn=$\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．
点评 本题考查等差数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．则AB的中点坐标（ ）
| A． | （-$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{5}$） | B． | （1，-1） | C． | （-1，$\frac{2}{5}$） | D． | （-1，1） |
7．函数y=3sin（-2x-$\frac{π}{6}$）的单调递增区间（ ）
| A． | [kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z） | B． | [kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]（k∈Z） | ||
| C． | [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z） | D． | [kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z） |