题目内容
若Sn=sin
+sin
+…+sin
（n∈N*），在S1，S2，…，S100中，正数的个数是
| π |
| 7 |
| 2π |
| 7 |
| nπ |
| 7 |
86
86
．分析：由sin
＞0，sin
＞0，…，sin
＞0，sin
=0，sin
＜0，…，sin
＜0，sin
=0，可得到S1＞0，…S13＞0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．
| π |
| 7 |
| 2π |
| 7 |
| 6π |
| 7 |
| 7π |
| 7 |
| 8π |
| 7 |
| 13π |
| 7 |
| 14π |
| 7 |
解答：解：∵sin
＞0，sin
＞0，…，sin
＞0，sin
=0，sin
＜0，…，sin
＜0，sin
=0，
∴S1=sin
＞0，
S2=sin
+sin
＞0，
…，
S8=sin
+sin
+…+sin
+sin
+sin
=sin
+…+sin
+sin
＞0，
…，
S12＞0，
而S13=sin
+sin
+…+sin
+sin
+sin
+sin
+…+sin
=0，
S14=S13+sin
=0+0=0，
又S15=S14+sin
=0+sin
=S1＞0，S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，
∴S14n-1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．
故答案为：86．
| π |
| 7 |
| 2π |
| 7 |
| 6π |
| 7 |
| 7π |
| 7 |
| 8π |
| 7 |
| 13π |
| 7 |
| 14π |
| 7 |
∴S1=sin
| π |
| 7 |
S2=sin
| π |
| 7 |
| 2π |
| 7 |
…，
S8=sin
| π |
| 7 |
| 2π |
| 7 |
| 6π |
| 7 |
| 7π |
| 7 |
| 8π |
| 7 |
| 2π |
| 7 |
| 6π |
| 7 |
| 7π |
| 7 |
…，
S12＞0，
而S13=sin
| π |
| 7 |
| 2π |
| 7 |
| 6π |
| 7 |
| 7π |
| 7 |
| 8π |
| 7 |
| 9π |
| 7 |
| 13π |
| 7 |
S14=S13+sin
| 14π |
| 7 |
又S15=S14+sin
| 15π |
| 7 |
| π |
| 7 |
∴S14n-1=0，S14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S1，S2，…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S1，S2，…，S100中，正数的个数是86．
故答案为：86．
点评：本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin
的符号，找出S1，S2，…，S100中，S14n-1=0，S14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度，属于难题．
| nπ |
| 7 |
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