Question

在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点.

（1）证明AC⊥SB；

（2）求二面角N—CM—B的余弦值；

（3）求点B到平面CMN的距离.

Answer 1

思路分析：由题目所给的条件，恰当地建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标表示的内容进行证明、求解即可.

解：（1）证明如下，取AC中点O，连结OS、OB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，

∴SO⊥面ABC.∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.

则A（2，0，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），B（0，，0）.∴=（-4，0，0），=（0，-，2），∵·=（-4，0，0）·（0，-，2）=0，

∴AC⊥BS.

（2）解：由（1），得M（1，，0），=（3，，0），（-2，0，2）=（-1，0，1）.

设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则

取x=-1,y=,z=-1,则n=(-1,,-1),

又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，

∴cos〈n,〉=.

∴二面角N-CM-B的余弦值为.

（3）解：由（1）（2），得=（2，，0）.n=（-1，，-1）为平面CMN的一个法向量.∴点B到平面CMN的距离d=.