Question

已知函数f（x）=mx²+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为（　　）

• A．m＞

  1

  2

• B．m＜1
• C．m≤

  1

  2

• D．m≥

  1

  2

Answer 1

分析：f（x）=mx²+lnx-2x在定义域内是增函数?f′（x）=2mx+

1

x

-2≥0在定义域（0，+∞）内恒成立．分离变量m，构造函数g（x）=y=

2x-1

2x2

（x＞0），只需m≥g（x）_max即可．

解答：解：∵f（x）=mx²+lnx-2x在定义域内是增函数，
∴f′（x）=2mx+

1

x

-2≥0在定义域（0，+∞）内恒成立．
∴2mx≥2-

1

x

，
∴m≥

2- 1 x

2x

=

2x-1

2x2

（x＞0）．
令g（x）=y=

2x-1

2x2

（x＞0），m≥g（x）_max．
则2yx²-2x+1=0，
由于y不恒为0，
∴当y≠0时，方程2yx²-2x+1=0有根的条件为：△=4-4×2y×1≥0，
∴y≤

1

2

．
∴m≥

1

2

．
故选D．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查恒成立问题，考查构造函数与方程的数学思想，属于中档题．