Question

.已知函数f(x)=x²+|x-a|+1,a∈R.

(1)试判断f(x)的奇偶性；

（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.

Answer 1

（1）f(x) 为非奇非偶函数（2）a²+1

解析:

(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)²+|-x|+1=f(x),

此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a²+1,f(-a)=a²+2|a|+1,

f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.

（2）当x≤a时,f(x)=x²-x+a+1=(x-)²+a+,

∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，

从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a²+1.

当x≥a时，函数f(x)=x²+x-a+1=(x+)²-a+,

∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的最小值为f(a)=a²+1.

综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a²+1.