Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程．

（2）若对任意的恒成立，求的值．

（3）在（2）的条件下，记，证明：存在唯一的极大值点，且．

Answer 1

【答案】（1）；（2）实数的值为；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用导数的几何意义求得切线的方程；

（2）等价转化为对任意的恒成立,令,求得，按照,,分类讨论，利用导数研究函数的单调性，并注意，得到实数的值；

（3）求得，令，利用导数研究单调性和最值，并根据零点存在定得到存在唯一的实数,使得,进而分析单调性，

是的唯一极大值点.由，可得到,

利用的范围和二次函数的性质可以证明最后的结论.

（1）∵，∴，

当时，，，

切线方程为：,即;

（2）的定义域为,对任意的恒成立，等价于

,即对任意的恒成立,

令,,

当时，在上, 单调递减，在上,单调递增，

∴恒成立，符合题意；

当时，在上, 单调递增，

注意到，故,不合题意；

时，在上,单调递减，

∴,不合题意，

综上所述，，所以实数的值为.

（3），

，

令，则，

在上，，单调递减，在上，，单调递增，

,又∵，，

∴存在唯一的实数,使得,

在在内,单调递增，在内,单调递减，在在内,单调递增，

∴是的唯一极大值点.

由

,

由于，,证明完毕.