Question

【题目】如图，已知抛物线 ，直线与抛物线相交于两点，且当倾斜角为的直线经过抛物线的焦点时，有.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知圆，是否存在倾斜角不为的直线，使得线段被圆截成三等分？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（I）联立方程组，利用根与系数的关系和抛物线的性质列方程解出p；
（II）设直线l方程为，与抛物线方程联立，求出AB的中点坐标，利用垂径定理列方程得出m，b的关系，利用弦长公式计算|AB|，|CD|，根据|AB|=3|CD|列方程求出m得出直线l的方程．

试题解析：

（1）当倾斜角为的直线经过抛物线的焦点时，直线的方程为，

∵联立方程组，即，

∴，即，∴抛物线的方程是；

（2）假设存在直线，使得线段被圆截成三等分，令直线交圆为，设直线的方程为， ，由题意知：线段与线段的中点重合且有，联立方程组，即，

∴， ， ，

∴线段中点的坐标为，即线段的中点为，

∴，即，

又∵，

，

∴，即，∴， ，

故直线的方程为.