Question

设实数x₀是函数f（x）=2sinx-πlnx（x∈（0，π））的零点，则
①x₀∈（1，e）
②x₀∈（e，π）
③若x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0
④若x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＞0，
其中正确的结论序号为

 

．

Answer 1

分析：根据端点函数值的正负，根据函数的零点判定定理判断是否存在零点，来判断①②是否正确；求出函数的导数，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，来判断③④是否正确．

解答：解：∵f（1）=2sin1-πln1=2sin1＞0，f（e）=2sine-π＜0，
∵f（x）为连续函数且f（1）•f（e）＜0，根据函数的零点判定定理，
在（1，e）内存在零点，故①正确．
f（π）=2sinπ-πlnπ=-πlnπ＜0，
故不能推出函数（e，π）内存在零点，故②不正确．
又∵f′（x）=2cosx-

π

x

，当x∈（0，

π

2

]时，2cosx＜2，

π

x

＞2，
∴f′（x）＜0；
当x∈（

π

2

，π）时，cosx＜0，
∴f′（x）＜0，
∴函数在（0，π）上是减函数，故④正确而③不正确，
故答案：①④．

点评：本题主要借助考查命题的真假判断及应用，考查函数的零点判定及利用导数判定函数的单调性，属于中档题．