Question

已知函数f（x）=x²-2x+alnx不是单调函数，且无最小值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设x₀是函数f（x）的极值点，证明：-

3+ln4

4

＜f（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对f（x）导数，得f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，f（x）=x²-2x+alnx不是单调函数，且无最小值，说明f'（x）=0必有2个不相等的正根，再利用二次函数图象与性质求解
（Ⅱ）x₀是函数f（x）的极值点，则x₀是f'（x）=0的2个不相等的正根，综合利用函数与不等式知识解决．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．…（1分）
对f（x）导数，得f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

．…（3分）
显然，方程f'（x）=0?2x²-2x+a=0（x＞0）．
若f（x）不是单调函数，且无最小值，
则方程2x²-2x+a=0必有2个不相等的正根．…（5分）
所以 

△=4-8a＞0 a 2 ＞0

解得0＜a＜

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）设方程2x²-2x+a=0的2个不相等的正根是x₁，x₂，其中x₁＜x₂．
所以f′(x)=

2x2-2x+a

x

=

2(x-x1)(x-x2)

x

，列表分析如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以，x₁是极大值点，x₂是极小值点，f（x₁）＞f（x₂）．
故只需证明-

3+ln4

4

＜f(x2)＜f(x1)＜0．…（8分）
由 0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，得 0＜x1＜

1

2

＜x2＜1．…（9分）
因为 0＜a＜

1

2

，0＜x1＜

1

2

，所以 f（x₁）=x₁（x₁-2）+alnx₁＜0．…（10分）
由 2

x

2 2

-2x2+a=0，得 a=-2

x

2 2

+2x2，
所以 f(x2)=

x

2 2

-2x2+(-2

x

2 2

+2x2)lnx2．…（12分）
对x₂求导数，得 f'（x₂）=-2（2x₂-1）lnx₂．
因为 

1

2

＜x2＜1，所以f'（x₂）＞0，
所以 f（x₂）是(

1

2

，1)上的增函数，
故 f(x2)＞f(

1

2

)=-

3+ln4

4

．…（14分）
综上 -

3+ln4

4

＜f(x0)＜0．

点评：本题考查了对数函数的导数运算、导数在最大值、最小值问题中的应用，解答关键是利用导数工具研究函数的最值问题，以及掌握不等式的证明方法