Question

已知函数f（x）=x²-2x+alnx不是单调函数，且无最小值．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设x₀是函数f（x）的极值点，证明：f（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导，函数不是单调函数，则对于f'（x）=0，有解．
（Ⅱ）利用条件x₀是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x₀）＜0．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是{x|x＞0}．…（1分）
对f（x）求导数，得f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

．…（3分）
显然，方程f'（x）=0?2x²-2x+a=0（x＞0）．
若f（x）不是单调函数，且无最小值，则方程2x²-2x+a=0必有2个不相等的正根．…（5分）
所以 

△=4-8a＞0 a 2 ＞0

解得0＜a＜

1

2

．…（7分）
（Ⅱ）设方程2x²-2x+a=0的2个不相等的正根是x₁，x₂，其中x₁＜x₂．
所以f′(x)=

2x2-2x+a

x

=

2(x-x1)(x-x2)

x

．…（9分）
列表分析如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以，x₁是极大值点，x₂是极小值点，f（x₁）＞f（x₂）．
故只需证明f（x₁）＜0．…（11分）
由 0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，得0＜x1＜

1

2

．…（12分）
因为 0＜a＜

1

2

，0＜x1＜

1

2

，
所以 f（x₁）=x₁（x₁-2）+alnx₁＜0．
从而f（x₀）＜0．…（14分）

点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论．