Question

【题目】如图，三棱锥中，已知，，的平分线，且棱锥的三个侧面与底面都成角，求棱锥的侧面积与体积．

Answer 1

【答案】侧；

【解析】

设，由得到，及，顶点在底面上的射影为的内心，由余弦定理得到BC，进一步算得内切圆半径，进一步得到到底面距离为，以及，再利用侧面积、体积公式运算即可.

在底面中，设，则，

所以

即，

，又，

所以，从而，

．

过P作平面ABC，过O分别作，

连接，又，，

所以平面，所以，同理，

所以、、为三个侧面与底面都成的角，

且大小等于，，所以为内心，

则在上，设，则（为内切圆半径）．

在中，，

由余弦定理，得

，所以，

设为的半周长，则

，∴，

，

侧

∴．从而.

【点晴】

本题主要考查锥体的体积及侧面积的计算，涉及到面积射影定理、余弦定理的应用，考查学生的数学运算能力，空间想象能力，是一道中档题.