Question

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，，点D是A₁B₁的中点，点E在A₁C₁上，且DE⊥AE．

(1)证明：平面ADE⊥平面ACC₁A₁；

(2)求直线AD和平面ABC₁所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(I)由正三棱柱的性质知平面， 　　又DE平面A1B1C1，所以DEAA1．(2分) 　　而DEAE，AA1AE＝A所以DE平面ACC1A1(4分) 　　又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1．(6分) 　　(2)设O为AC中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝，则AB＝2，则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C1(0，1，)，D(，－，)(7分) 　　直线AD和平面ABC1所成角为，平面ABC1的法向量为n＝(x，y，z) 　　由＝(，1，0)，＝(0，2，)，＝(，－，) 　　有解得x＝－y，z＝－，故可取n＝(1，－，)(9分) 　　＜n·＞＝＝＝(11分) 　　所以，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为．(12分)