Question

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

(半个椭圆的面积公式为S=lh,柱体体积为底面积乘以高.本题结果均精确到0.1米)

Answer 1

解：(1)如图，建立直角坐标系，则点P(11，4.5)，

    椭圆方程为+=1.

    将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=,此时l=2a=≈33.3.

    因此隧道的拱宽约为33.3米.

(2)由椭圆方程+=1,

    得=1.

    因为≥,

    即ab≥99,且l=2a,h=b,

V=lh·2.5=·2ab=247.5π.

    当且仅当时V_min=247.5π.

    又=1,

    解得a=11,b=,l=22.

∴拱高应为米,拱宽为22米.

答:当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.