Question

【题目】如图，在四棱锥，为矩形，，，平面平面．

（1）证明：平面平面；

（2）若为中点，直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）推导出平面，，从而平面，由此能证明平面平面．

（2）由平面，为在平面内的射影，从而即为直线与平面所成的角，取中点，连结，则，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

（1）证明：∵平面平面，平面平面，

矩形中，，

∴平面．

∵平面，

∴．

又∵，，平面，平面．

∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

（2）解：由（1）知平面，为在平面内的射影，

∴即为直线与平面所成的角，

由题意，，，

取中点，连结，则，

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，，∴．

同理易得，平面的一个法向量为，

由，

∴二面角的正弦值为．