Question

【题目】已知如图，长方体中，，，点，，分别为，， 的中点，过点的平面与平面平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形.

（1）在图中画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（画图说出作法，不用说明理由）；

（2）求证：平面.

Answer 1

【答案】(1) .(2)见解析.

【解析】

（1）以公理三及其推理，以及面面平行判定定理为依据，即可作出过点且与平面平行的平面，由于其截面为等腰梯形，对应运用梯形面积公式即可求出该梯形面积.

（2）设交EF于Q，连接DQ，关键通过证明以及，即可利用线面垂直判定定理证明.而对于的证明，可以通过平面即可，而的证明，需要证得即可.

（1）设N为的中点，连结MN，AN、AC、CM，

则四边形MNAC为所作图形；

易知MN（或），四边形为梯形，

且，

过M作MP⊥AC于点P，可得，

，得

所以梯形的面积=；

（2）证法1：在长方体中，设交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为的四等点，如图，

由得，又，，

平面，则，

且，则

，

，

平面

证法2：设交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为的四等分点，

由可知，

又，，

平面，

由得，

得，

，

，又，

平面