Question

  (本小题14分)

已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，且,

且,分别为的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）设的中点为,连接

∵是的中点∴∥且

∵是的中点∴∥且

∴∥且

∴是平行四边形

∴∥     

∵平面,平面

∴∥平面    …………………………………………  4分

（Ⅱ）  ∵ 为等腰直角三角形， ,且是的中点 

 ∴  ∵平面平面 

 ∴ 平面  ∴              ……  6分

设

则在中，，

则，  ∴ 

 ∴ 是直角三角形，∴………………………  8分

∵   ∴平面     ………………  9分

（Ⅲ）分别以为轴建立空间直角坐标系如图，

设，则设,

∵ 平面

∴ 面的法向量为=   ………………………  10分

设平面的法向量为

∵  ,     

∴,         

∴,            

不妨设，可得  ……………………………  12分

∴ =……………………  13分

∵ 二面角是锐角

∴ 二面角的大小   …………………………  14分