Question

已知双曲线的中心在原点,焦点F₁,F₂在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.
(3)求△F₁MF₂的面积.

Answer 1

(1) x²-y²=6   (2)见解析   (3)6

(1)∵e=,
∴可设双曲线方程为x²-y²=λ(λ≠0).
∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴双曲线方程为x²-y²=6.
(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,
∴c=2,∴F₁(-2,0),F₂(2,0).
∴=,=,
·==-.
∵点M(3,m)在双曲线上,
∴9-m²=6,m²=3.
故·=-1,∴MF₁⊥MF₂.
∴·=0.
方法二:∵=(-3-2,-m),
=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m²=-3+m².
∵M(3,m)在双曲线上,
∴9-m²=6,即m²-3=0.
∴·=0.
(3)△F₁MF₂的底|F₁F₂|=4,
△F₁MF₂的边F₁F₂上的高h=|m|=,
∴=6.