Question

（12分）证明以下命题：
（Ⅰ）对任一正整a,都存在整数b,c（b<c），使得成等差数列。
（Ⅱ）存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长为正整数且成等差数列。

Answer 1

解：（Ⅰ）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。
证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。
结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。
证明：当成等差数列，则，
分解得：
选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解

对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。
下证互不相似。
任取正整数m，n，若△_m，△相似：则三边对应成比例，
由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

略