题目内容

已知点P(x,y)对应的复数z满足, 则点Q(x+y,xy)的轨迹是 ( ).

A. 圆 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆 D. 双曲线的一部

B

解析:

设, 则

, , 轨迹为抛物线的一部分

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已知点P（x，y）为椭圆

+y2=1上一点，F₁、F₂为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF₁F₂面积的最大值为

；②若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF₁Q的周长为8；③若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有

=4；对定点A(

|的取值范围为[4-

．其中正确结论的番号是

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足f（x）≤g（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=lnx，g（x）=1-

．
（1）试探求f（x）与g（x）是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由．
（2）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数f（x）图象上任意两点，0＜x₁＜x₂，且存在实数x₃＞0，使得f（x₃）=

，证明：x₁＜x₃＜x₂．

已知点P（x，y）为椭圆 $数学公式$ 上一点，F₁、F₂为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF₁F₂面积的最大值为 $数学公式$ ；②若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF₁Q的周长为8；③若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有 $数学公式$ ；对定点 $数学公式$ ，则 $数学公式$ 的取值范围为 $数学公式$ ．其中正确结论的番号是________．

已知点P（x，y）为椭圆

+y2=1上一点，F₁、F₂为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF₁F₂面积的最大值为

；②若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF₁Q的周长为8；③若过点P、F₂的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有

=4；对定点A(

|的取值范围为[4-

．其中正确结论的番号是______．

圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x，y）、M（m，n）是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0）．
（Ⅰ）试用x，y，m，n的代数式分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）已知“若点P（x，y）是圆C：x²+y²=R²上的任意一点，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），则

”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为

（如图），则x_E•x_F也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．