Question

已知实数x，y，z满足：（x-1）²+y²+z²=1，则2x+2y+z的最大值是

5

．

Answer 1

分析：换元：设x-1=w，得w²+y²+z²=1，利用柯西不等式得（2w+2y+z）²≤（2²+2²+1²）（w²+y²+z²）．因此当且仅当w=y=

2

3

，z=

1

3

时，2w+2y+z的最大值为3，进而得到2x+2y+z的最大值为3+2=5．

解答：解：设x-1=w，得（x-1）²+y²+z²=w²+y²+z²=1
∴2x+2y+z=2w+2y+z+2
∵（2w+2y+z）²≤（2²+2²+1²）（w²+y²+z²）=9
∴-3≤2w+2y+z≤3，
当且仅当

2

w

=

2

y

=

1

z

，即w=y=

2

3

，z=

1

3

时，2w+2y+z的最大值为3
由此可得：2x+2y+z的最大值为3+2=5
故答案为：5

点评：本题给出关于x、y、z的二次等式，求2x+2y+z的最大值．着重考查了柯西不等式的应用，考查了换元的数学思想，属于中档题．