Question

已知实数x、y、z满足3x²+4y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是

3

，求a的值．

Answer 1

分析：首先分析题目已知：3x²+4y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是

3

．可以考虑到构造柯西不等式[(

3

x)2+(2y)2+(

6

z)2][(

1

3

)2+(

1

2

)2+(

1

6

)2]≥(x+y+z)2，然后根据已知条件求得最大值

3a

2

，使它等于

3

，即可得到答案．

解答：解：由柯西不等式：[(

3

x)2+(2y)2+(

6

z)2][(

1

3

)2+(

1

2

)2+(

1

6

)2]≥(x+y+z)2．
因为3x²+4y²+6z²=a（a＞0），
所以

3

4

a≥(x+y+z)2，即-

3a

2

≤x+y+z≤

3a

2

．
因为x+y+z的最大值是

3

，所以

3a

2

=

3

，得a=4，
当x=

4 3

9

，y=

3

3

，z=

2 3

9

时，x+y+z取最大值．
所以a=4．

点评：本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，对于柯西不等式的构造是题目的关键，需要同学们灵活应用．