题目内容
已知实数x，y，z满足xyz=32，x+y+z=4，则|x|+|y|+|z|的最小值为
12
12
．分析：为了去掉绝对值，先讨论三个实数的符号一定为一正二负，从而将|x|+|y|+|z|转化为关于x的函数，再利用判别式法求x的范围，即可得所求
解答：解：不妨设x≥y≥z由于xyz=32＞0所以x，y，z要么满足全为正，要么一正二负
若是全为正数，由均值不等式得：4=x+y+z≥3
，所以xyz≤
＜32，矛盾．
所以必须一正二负．即x＞0＞y≥z
从而|x|+|y|+|z|=x-y-z=2x-（x+y+z）=2x-4，所以只要x最小
将z=4-x-y代入xyz=32得：xy2+（x2-4x）y-32=0
由△≥0，得：（x2-4x）2≥128x
即x（x-8）（x2+16）≥0因为x＞0，x2+16＞0，所以一定有x-8≥0，x≥8
所以|x|+|y|+|z|的最小值为2×8-4=12
故答案为12
若是全为正数，由均值不等式得：4=x+y+z≥3
| 3 | xyz |
| 64 |
| 27 |
所以必须一正二负．即x＞0＞y≥z
从而|x|+|y|+|z|=x-y-z=2x-（x+y+z）=2x-4，所以只要x最小
将z=4-x-y代入xyz=32得：xy2+（x2-4x）y-32=0
由△≥0，得：（x2-4x）2≥128x
即x（x-8）（x2+16）≥0因为x＞0，x2+16＞0，所以一定有x-8≥0，x≥8
所以|x|+|y|+|z|的最小值为2×8-4=12
故答案为12
点评：本题考查了推理论证能力，均值定理的运用，含绝对值函数问题的解决方法，判别式法求变量的取值范围
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