Question

已知函数，．
（Ⅰ）若函数，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切．

Answer 1

（1）单调递增区间为

：（Ⅰ）求导，由导数可求得增区间，（Ⅱ）先写出切线方程，证明唯一。
解：（Ⅰ） ，
．            ……………………2分
∵且，
∴，
∴函数的单调递增区间为．   ……………………4分
（Ⅱ）∵ ，∴，
∴ 切线的方程为，
即，　　①                        ……………………6分
设直线与曲线相切于点，
∵，∴，∴．      ……………………8分
∴直线的方程为，
即，　　②               ……………………9分
由①②得 ，
∴．                                       …………………11分
下证：在区间上存在且唯一：
由（Ⅰ）可知，在在区间上递增．
又，，    ……………13分
结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．                                              
故结论成立．           ………………14分