[题目]椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径.平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段.称为该直径的共轭直径.已知椭圆的方程为.(1)若一条直径的斜率为.求该直径的共轭直径所在的直线方程,(2)若椭圆的两条共轭直径为和.它们的斜率分别为.证明:四边形的面积为定值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.

（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；

（2）若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用点差法计算. 设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，

该弦中点为，将坐标代入椭圆方程，作差，然后化简得，即直径的共轭直径所在的直线方程为；（2）四边形显然为平行四边形，联立直线的方程和椭圆的方程，分别求得四点的坐标分别为，，，，然后利用两点间距离公式和点到直线距离公式，求得面积为.

试题解析：

（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，

该弦中点为，则有，，

相减得：，

由于，，且，所以得：，

故该直径的共轭直径所在的直线方程为.

（2）椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，

四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，，

则，，而，，

，故，

由得的坐标分别为，

故，同理的坐标分别为，

设点到直线的距离为，四边形的面积为,

所以，，

则，为定值.

练习册系列答案

(1)约定见车就乘；

(2)约定最多等一班车．

【题目】已知为圆上的动点，的坐标为，在线段的中点.

（Ⅰ）求的轨迹的方程.

（Ⅱ）过点的直线与交于两点，且，求直线的方程.

【题目】如图，在三棱锥中，两两垂直且相等，过的中点作平面∥，且分别交PB，PC于M、N，交的延长线于．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

【题目】设椭圆C： =1的离心率e= ，动点P在椭圆C上，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和是4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C1的方程为 =1（m＞n＞0），椭圆C2的方程为 =λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知椭圆C2是椭圆C的3倍相似椭圆．若过椭圆C上动点P的切线l交椭圆C2于A，B两点，O为坐标原点，试证明当切线l变化时|PA|=|PB|并研究△OAB面积的变化情况．