Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，点在轴上，点在轴非负半轴上，点满足：

（1）当点在轴上移动时，求动点的轨迹C的方程；

（2）设为曲线C上一点，直线过点且与曲线C在点处的切线垂直，与C的另一个交点为，若以线段为直径的圆经过原点，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）由点在轴上，点在轴非负半轴上且为动点，可设出设A（a，0），B（0，b），M（x，y）,由关系,将向量坐标代入可得动点的轨迹C的方程.

(2)设Q（m，2m2）, 直线过点且与曲线C在点处的切线垂直,可求出直线l的方程为y﹣2m2=（x﹣m）,设,联立与C的方程，并由韦达定理可得,, （2m2）yR，2m2yR，又由线段为直径的圆经过原点，所以，即mxR+（2m2）yR=0，整理后可求出直线的方程．

试题解析：

解：（Ⅰ）设A（a，0），M（x，y），B（0，b），则=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1）

∵=2，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b

∵，∴有a（x﹣a）+y=0

∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x2+y=0

即C的方程是y=2x2；

（Ⅱ）设Q（m，2m2），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=

∴直线l的方程为y﹣2m2=（x﹣m）

与y=2x2联立，消去y可得2x2+x﹣2m2﹣=0，该方程必有两根m与xR，且mxR=﹣m2﹣

∴（2m2）yR=4（﹣m2﹣）2

∵，∴mxR+（2m2）yR=0，∴﹣m2﹣+4（﹣m2﹣）2=0，∴m=±

∴直线l的方程为．