Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，点为左焦点，过点作轴的垂线交椭圆于、两点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）在圆上是否存在一点，使得在点处的切线与椭圆相交于、两点满足？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)(2) 在圆上不存在这样的点使其成立

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的离心率公式和通径的表达式，构造方程，得到椭圆方程；（2）将向量的位置关系，坐标化为，得到两个变量的等量关系，联立直线和椭圆，将向量的位置关系，根据韦达定理，坐标化为，再根据直线和圆的位置关系得到，联立这两个方程，二元化一元，得到方程无解，故不存在。

解析：

（1）

又

,

椭圆的方程为：

（2）假设存在点，使得.当的斜率不存在时，:或

与椭圆：相交于，两点，

此时 或

当直线的斜率不存在时不满足.

当直线的斜率存在时，设：

则

直线与椭圆相交于，两点

，化简得

设，

，

又与圆相切，

，显然不成立，在圆上不存在这样的点使其成立.