Question

【题目】递增数列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整数组成，它们要么是3的幂要么是若干个不同的3的幂的和.求第2014项的值.

Answer 1

【答案】88329

【解析】

记此数列为.则.

用二进制表示项的序号n，三进制表示项，

，

，

，

，

，

，

，

.

由题意，知的三进制表示各位仅可取0、1两个值且单调递增，由此可猜测当时，.

接下来用数学归纳法证明.

假设当时，命题成立.

则当时，其中，，必有整数，使且.

故.

于是，.

由假设得，它是若干不同的3的幂之和且小于的最大值.

由单调递增知

，

其中，.

则，

且仍为中某一项（当然）.

于是，即

.

故 .

另一方面，，

当然，可表示为若干个互不相同的3的幂之和，故存在，使.

从而，.

而，于是，，即.

因此，.

这导致.

故当时，命题仍成立.

因为，所以，

.