Question

【题目】在长方体中，底面是边长为的正方形，是的中点，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，利用中位线定理得出，再证明出四边形为平行四边形，可得出，进而得出，然后利用线面平行的判定定理可得出结论；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能计算出平面与平面所成二面角的余弦值，进而利用同角三角函数的基本关系可得出结果.

（1）连接，、分别为、的中点，所以，

在长方体中，且，

所以，四边形为平行四边形，，，

平面，平面，平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、、，

，，，，

设平面的法向量为，

由，令，可得，得，

设平面的法向量为，

由，令，得，得，

设平面与平面所成二面角的大小为，

，则.