Question

7．过点P（-3，-4）作直线l，当l的斜率为何值时
（1）l将圆（x-1）²+（y+2）²=4平分？
（2）l与圆（x-1）²+（y+2）²=4相切？
（3）l与圆（x-1）²+（y+2）²=4相交且所截得弦长=2？

Answer 1

分析 （1）当l经过圆心Q（1，-2）时，可将圆（x-1）²+（y+2）²=4平分，利用点斜式即可得出．
（2）设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kx-y+3k-4=0，根据直线l与圆相切，可得圆心Q（1，-2）到直线l的距离d=$\frac{|k-（-2）+3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解出即可．
（3）由于l与圆（x-1）²+（y+2）²=4相交且所截得弦长=2，可得直线l的距离d=$\frac{|k-（-2）+3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$，解出k即可．

解答 解：（1）当l经过圆心Q（1，-2）时，可将圆（x-1）²+（y+2）²=4平分，
∴直线l的方程为：y+2=$\frac{-4-（-2）}{-3-1}$（x-1），化为x-2y-5=0．
（2）设直线l的方程为：y+4=k（x+3），化为kx-y+3k-4=0，
∵直线l与圆相切，
∴圆心Q（1，-2）到直线l的距离d=$\frac{|k-（-2）+3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，化为：3k²-4k=0，
解得k=0或$\frac{4}{3}$．∴当k=0或$\frac{4}{3}$时，直线l与圆相切．
（3）∵l与圆（x-1）²+（y+2）²=4相交且所截得弦长=2，
∴直线l的距离d=$\frac{|k-（-2）+3k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$，化为13k²-16k+1=0，
解得k=$\frac{8±\sqrt{51}}{13}$．
∴当k=$\frac{8±\sqrt{51}}{13}$时，满足条件．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．